Basit bir doğrusal model ve incelenmesi
Sistemlerin değişimini incelerken genellikle aşağıdaki gibi
basit bir doğrusal model kullanırız.
X(i+1) = a.Y(i) + (1-a).X(i)
Burada
Y(i) e {0, 1} // i. zamandaki sistemin girişini ifade ediyor, 0 veya 1 tamsayı değerlerini alıyor,
a e [0, 1] // doğrusal model parametresi, 0 ile 1 arasında rasyonel değerler alabilir,
X(i) e (0, 1) // a ve Y değerine göre değişen, i. andaki doğrusal model çıktısı.
Sonuç olarak modeli X = f(a, Y, X başlangıç) şeklinde ifade edebiliriz.
Açıkça görüleceği üzere,
a = 0 için, X = X // kendi değerini korur, değişimlerden etkilenmez,
a = 1 için, X = Y // değişimlerden anlık olarak etkilenir.
Peki ya, 0 < a < 1 için ne olur?
X1 = a1 . Y + ( 1 - a1 ) . X1
X2 = a2 . Y + ( 1 - a2 ) . X2
0 < a1 < a2 < 1 değerleri için, a2 parametresi kullanıldığında
X çıktısı, Y girişindeki değişimlerden daha fazla etkilenecektir.
O halde, a2 > a1 için her zaman X2 > X1 sonucuna ulaşabilir miyiz? Ne yazık ki hayır.
Aşağıda
- farklı X başlangıç değerleri,
- farklı a değerleri ve
- farklı sayıda ard arda gelen Y=0 değerinden sonra bir adet Y=1 gelmesi için
model çıktısının aldığı sonuçları görebilirsiniz.
X=0.2
Y=0 0 tane 2 tane 4 tane 6 tane 8 tane 10 tane
a=0.0 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
a=0.2 0.36 0.302 0.265 0.241 0.226 0.217
a=0.4 0.52 0.443 0.415 0.405 0.402 0.4
a=0.6 0.679 0.612 0.602 0.6 0.6 0.6
a=0.8 0.84 0.801 0.8 0.8 0.8 0.8
a=1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
X=0.4
Y=0 0 tane 2 tane 4 tane 6 tane 8 tane 10 tane
a=0.0 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4
a=0.2 0.52 0.404 0.331 0.283 0.253 0.234
a=0.4 0.64 0.486 0.431 0.411 0.404 0.401
a=0.6 0.76 0.625 0.604 0.6 0.6 0.6
a=0.8 0.88 0.803 0.8 0.8 0.8 0.8
a=1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
X=0.6
Y=0 0 tane 2 tane 4 tane 6 tane 8 tane 10 tane
a=0.0 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6
a=0.2 0.679 0.507 0.396 0.325 0.28 0.251
a=0.4 0.76 0.529 0.446 0.416 0.406 0.402
a=0.6 0.84 0.638 0.606 0.6 0.6 0.6
a=0.8 0.92 0.804 0.8 0.8 0.8 0.8
a=1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
X=0.8
Y=0 0 tane 2 tane 4 tane 6 tane 8 tane 10 tane
a=0.0 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8
a=0.2 0.84 0.609 0.462 0.367 0.307 0.268
a=0.4 0.88 0.572 0.462 0.422 0.408 0.402
a=0.6 0.92 0.651 0.608 0.601 0.6 0.6
a=0.8 0.96 0.806 0.8 0.8 0.8 0.8
a=1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
X=1.0
Y=0 0 tane 2 tane 4 tane 6 tane 8 tane 10 tane
a=0.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
a=0.2 1.0 0.712 0.527 0.409 0.334 0.285
a=0.4 1.0 0.616 0.477 0.427 0.41 0.403
a=0.6 1.0 0.664 0.61 0.601 0.6 0.6
a=0.8 1.0 0.808 0.8 0.8 0.8 0.8
a=1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
Yukarıda verilen değerlerden de görüleceği üzere,
a parametresi sistemin hem yükselme hem de düşmesini etkilediğinden,
a2 > a1 için her zaman X2 > X1 sonucuna ulaşılamaz.
Keywords: linear model, parameter, monotonically increasing function
2011-03-22 11:00:20
