Brachistochrone Problemi

Varyasyonlar Hesabı'nın en ilginç problemlerinden biri olan bu problemin adı, Yunanca'da "en kısa zaman" anlamına gelmektedir. Bu problem Johann Bernoulli tarafından 1696 yılında o günün matematikçileri için zorlayıcı bir problem olarak sorulmuştur. Bu sorunun doğru cevabını bilenler: kendisi, kardeşi Jakob Bernoulli, Isaac Newton, Gottfried Leibniz ve Marquis de L'Hospital'dir. Problemi kısaca şu şekilde özetleyebiliriz:

Sürtünmesiz ortamda, A noktasındaki bir cisim yerçekimi kuvvetinin etkisiyle B noktasına ulaşacaktır. Cismin, A noktasından B noktasına ulaşma süresinin en küçük değerini belirlemek için, cismin gideceği yol nasıl seçilmelidir?

Hemen ekleyeyim; doğru cevap ilk akla gelen: düz bir doğru, çember, elips ya da parabol seçeneklerinden hiçbirisi değil!

ÇÖZÜM

Hesabımızı kolaylaştırmak için çözümü pozitif eksende yapacağız. A(0, 0) noktasından B(b, d) noktasına gideceğimizi varsayalım. Bu sistemde yerçekimi vektörü g(0, 9.81) olarak tanımlanabilir. x cismin yataydaki konumu olmak üzere, y = u(x) fonksiyonu cismin dikey konumunu belirlesin

(0 < x < b --> 0 < y < d).

Yapılacak hesaplama aslında oldukça basit. Cismin takip edeceği S yolunu dS'lik küçük parçalara ayırarak, herbirinde harcanan zamanı toplayacağız. Bildiğiniz gibi dS parçasının uzunluğunu, o parçadaki hıza bölersek, o parçayı geçmek için harcanan zamanı buluruz. Bu durumda toplam süre aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

Şimdi biraz eski fizik bilgilerimizi tazeleyelim:

- Öncelikle hızı nasıl hesaplayacağımızı hatırlayalım.

- Diğer taraftan yer değiştirmeyi aşağıda verildiği gibi hesaplayabiliriz.

Bunlardan yararlanarak, aşağıdaki integral ailesini (fonksiyoneli) elde edebiliriz.

Bizim aradığımız T[u] fonksiyonelini minimize edecek u fonksiyonunun belirlenmesi.

Fonksiyonelde kök içinde aşağıdaki fonksiyonu elde etmiş olduk.

Normalde Euler-Lagrange diferansiyel sistemiyle çözüm elde edilebilir. Ancak f fonksiyonunda x açıkça yer almadığından, sistem aşağıda verilen Beltrami formuyla daha basit bir şekilde çözülebilir.

Bu diferansiyel denklem çözülürse aşağıda verilen parametrik çözüm elde edilir.

Burada elde edilen çözüm, k yarıçaplı bir tekerlek dönerken üzerindeki bir noktanın yaptığı yer değiştimeyi gösteren sikloit'tir.

Gelinin son noktada, verilen ikinci sınır koşulu olan B(b, d) yardımıyla, tekerleğin yarıçapı ve açı parametresinin sınır değerleri elde edilebilir.

Yukarıdaki örnekte, verilen problem için elde edilen integral ailelerinde (fonksiyonel) lokal optimum değerini verecek en uygun fonksiyonu belirledik. Benzer şekilde:

• dalgalı bir yolda arabanızla giderken yakıt tüketimini minimize etmek için ayağınızı yolun hangi kısımlarında gaza daha çok basmanız gerektiğini hesaplama

• hareket limitleri belli olan bir uçağı vurma olasılığınızı maksimize etmek için elinizdeki roketin fırlatıldıktan sonraki hareket rotasını belirleme

• ...

gibi problemlerin çözümünde de fonksiyonellerden yararlanabilirsiniz.