Türev nedir, türev ne işe yarar?

Türev, ileri matematik hesaplamalarında sıklıkla kullanılan temel bir kavramdır. Türevin ne olduğunu daha net bir şekilde anlayabilmeniz için, birden fazla tanım vermek istiyoruz.

Türev için yapılabilecek tanımlamalar

• Türev, türemiş ya da üretilmiş olan şeydir.

• Türev, yapılan bir etkiye göre elde edilen sonucun büyüklüğüdür.

• Türev, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değişim oranıdır.

• Türev, bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimidir.

• Türev, bir fonksiyonun eğiminin değişimini gösterir. Bir noktadaki türev, o noktadaki eğimi gösterir.

• Türev, x eksenindeki değişim miktarı ∆x, y eksenindeki değişim miktarı ∆y olmak üzere; ∆y/∆x şeklinde hesaplanan değerdir.

• Türev, ikinci dereceden bir y = f(x) fonksiyonu için, x ekseninde ufak bir yer değişim yapıldığında, yapılan bu değişikliğe göre y ekseninde elde edilen değişimin büyüklüğünü temsil eder.

• f : R → R, y = f(x) fonksiyonu a ∈ R noktasında sürekli bir fonksiyon olmak üzere, bu fonksiyonun bu noktadaki limiti reel bir sayıya eşitse; bu değere f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki türevi denir.

f(x) fonksiyonunun türevi f'(x) şeklinde gösterilir.

f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki türevi f'(a) şeklinde ifade edilir.

Türev ne işe yarar?

Yukarıdaki tanımlardan da anlayabileceğiniz üzere, türev bir fonksiyonun ne hızla değiştiğini ölçer. Bir fonksiyon belirli bir aralıkta sabit kalıyorsa, o aralıktaki türevi sıfırdır. İlgili fonksiyonun değeri yükseliyorsa türevi pozitif, düşüyorsa türevi negatiftir. Hızlı ya da yavaş değişmesi türevin büyüklüğünü belirler.

Türev örnekleri

Zamanla değişmeyen bir verinin türevi sıfırdır. 

Zamanla aynı hızda değişen bir verinin türevi sabittir.

Konum değişiminin zamana göre türevi hızdır. Hep aynı konumda duruyorsanız hızınız sıfırdır. Bir tarafa doğru her saniye aynı miktarda ilerliyorsanız, hızınız sabittir.

Hız değişiminin zamana göre türevi ivmedir. Hızınız değişmiyor ise ivmelenmeniz sıfırdır. Hızınız zamana göre eşit miktarlarda artıyorsa ivmelenmeniz sabittir.

Bir insanın boyunun değişiminin zamana göre türevi incelenirse, bu türev:
• 20 yaşından küçükken büyük ve pozitiftir (yani boy uzamaya devam eder),
• 20 ile 50 yaş arası genelde sıfıra yakındır (boy sabitlenir),
• 50 yaşından itibaren küçük ve negatiftir (boy azar azar kısalmaya başlar).

Bu aşamadan sonra türevin geometrik yorumunu inceleyerek konuya devam etmenizi öneriyoruz.