Erkek çocukları olana kadar çocuk yapan toplum

Google tarafından işe alımlarda sorulan en ilginç sorulardan birisi şöyledir:

Bir toplumdaki aileler, erkek çocukları olana dek çocuk yapmaya devam ediyorlar. Erkek çocukları olduğu an çocuk yapmayı bırakıyorlar. Böyle bir toplumda, erkek çocukların tüm nüfusa oranı nedir?

Hayli ilginç ve bir o kadar da güzel bir soru.

İlk bakışta, ailenin ilk çocuğunun zaten 1/2 ihtimalle erkek çocuk olabileceği düşünülerek, erkek çocuk oranının çok daha yüksek olması bekleniyor.

Ama ard arda çok sayıda kız yapılabileceği ihtimalini de göz önünde bulundurmak lazım. Bunun olasılığı çok düşük olsa bile üst üste toplanınca kız sayısı da fazlasıyla artabilir.

Hadi bakalım kağıt kaleminizi hazırlayın, yazılı yapıyoruz!

Erkek çocuk yapana kadar doğurmaya devam eden toplumdaki erkek/kız oranları

Bu oranları doğru bir şekilde hesaplayabilmek için önce olasılıkları alt alta yazalım.

1/2 ihtimalle E
1/4 ihtimalle KE
1/8 ihtimalle KKE
1/16 ihtimalle KKKE
...
1/2^N ihtimalle KKK...KE         (N-1 adet K)
...

Bu durumda böyle bir toplumdaki ailelerin ortalama erkek çocuk sayısını şu şekilde hesaplayabiliriz:

1 x 1/2 + 1 x 1/4 + 1 x 1/8 + 1 x 1/16 + ... + 1 x 1/2^N + ... = 1

Zaten her ailenin eninde sonunda 1 erkek çocuğu olmayacak mıydı? Bu formül de bunu doğrulamış oldu.

Benzer şekilde, böyle bir toplumdaki ailelerin ortalama kız çocuk sayısını şu şekilde hesaplayabiliriz:

0 x 1/2 + 1 x 1/4 + 2 x 1/8 + 3 x 1/16 + ... + (N-1) x 1/2^N + ... = 1

Buradan da, bu toplumdaki

- erkek/kız oranının 1 olduğu,
- erkek bebek oranının %50 olduğu,
- kız bebek oranının %50 olduğu

sonuçlarına ulaşabiliriz.

Ailelerdeki ortalama kız çocuk sayısının 1 olduğunun ispatı

= 1/4 + 2/8 + 3/16 + ... + (N-1) x 1/2^N + ...

  1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1/2   (ilk kızların olasılığı)
        1/8 + 1/16 + ... = 1/4   (ikincilerin olasılığı)
              1/16 + ... = 1/8   (üçüncülerin olasılığı)
                    +      ....
                   ------------
                            1